[R 강의] 106. 피어슨 상관분석

 

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1. 설명

 

상관분석은 서로 짝지어진 두 변수 사이의 관계의 강도를 [-1,1] 의 값을 갖는 상관계수로 나타내는 분석방법입니다. 0이면 관계 없음, 1에 가까울 수록 비례관계, -1에 가까울 수록 반비례관계입니다. 상관계수를 판단하는 일반적 기준은 아래와 같습니다.

 

0.0~0.2 : very weak correlation (or negligible)

0.2~0.4 : weak correlation

0.4~0.6 : moderate correlation

0.6~0.8 : strong correlation

0.8~1.0 : very strong correlation

 

절대적 기준은 아닙니다. 예를들어 '암과의 상관관계' 라면 낮은 상관계수도 유의미하게 해석될 수 있습니다. 

 

상관계수에 대한 가설검정도 수행합니다. 

 

귀무가설 : 상관계수=0

대립가설 : 상관계수≠0

 

따라서 R에서 상관분석을 수행하면 두가지 결과가 출력됩니다.

 

출력 결과 : 상관계수, p-value

 

상관분석에는 세가지 방법이 있습니다. 

Pearson : 모수적 방법 
Kendall : 비모수적 방법, 순위자료로 전환 후 피어슨상관계수 구함
Spaerman : 비모수적 방법, 부합인 쌍의 수가 P, 비부합인 쌍의 수가 Q일 때 P-Q/P+Q 로 정의됨

 

피어슨 상관분석을 공부하는 강의이므로, 피어슨상관분석만 설명드리겠습니다. 피어슨 상관계수의 정의는 아래와 같습니다.

 

$$\rho _{xy}=\frac{cov(X,Y)}{\sigma _{x}\sigma _{y}}$$

 

 

표본의 상관계수는 r이라고 부릅니다. 크기 n인 표본의 경우 아래와 같이 구합니다.

 

$$r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )\left ( y_{i}-\bar{y} \right )}
{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left ( x_{i}-\bar{x} \right )^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left ( y_{i}-\bar{y} \right )^{2}}}$$

 

두 변수의 공분산을 각 변수의 표준편차로 나눈 것입니다. 표준편차로 나눈것은 -1~1 사이로 normalize 하기 위함이고, 공분산의 의미가 핵심입니다. 공분산은 한 변수의 값이 커질 때 다른 변수의 값도 커지는 경향이 있으면 양수값, 한 값이 커질 때 다른 값이 작아지는 경향을 보이면 음수 값을 갖습니다. 

두 변수가 비례하는 경향 -> 공분산 양수
두 변수가 반비례하는 경향 -> 공분산 음수

하지만 공분산 값 자체로 상관관계의 정도를 나타내기는 어렵습니다. 단위가 다르면 천차만별로 달라지기 때문입니다. 따라서 각 변수의 표준편차로 나누어 -1~1사이로 표준화시킨 값을 사용합니다. 이 값이 피어슨상관계수입니다. 

 

2. 대상 

서로 짝지어진(paired) 데이터

ex) 성인 30명의 키와 몸무게

 

 

3. R 함수와 옵션

 

cor.test 함수를 사용합니다. 

 

cor.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), method = c("pearson", "kendall", "spearman"), exact = NULL, conf.level = 0.95, continuity = FALSE, ...)

 

아래는 옵션 설명입니다. 피어슨 검정을 할 때는 alternative 이외의 옵션은 신경 안써도 됩니다. exact나 continuity 는 피어슨과 무관한 옵션입니다. 

 

alternative : 단측, 양측 여부 결정. 단측일 경우 상관관계가 0보다 큰지, 작은지에 관심. 양측일 경우 상관관계가 0인지 아닌지에 관심

 

 

4. 피어슨 상관분석 예시

 

내장데이터인 iris 를 이용하였습니다. Sepal.Length 와 Petal.Length 로 상관분석을 수행하였습니다. 

 

> cor.test(iris$Sepal.Length,iris$Petal.Length)

	Pearson's product-moment correlation

data:  iris$Sepal.Length and iris$Petal.Length
t = 21.646, df = 148, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.8270363 0.9055080
sample estimates:
      cor 
0.8717538 

 

상관계수는 0.87이 나왔고, p값은 <0.001 입니다. 상관계수는 0이 아니고, 아주 강한 상관관계입니다. 

 

 

5. 시각화

 

그래프를 그려봅시다. 아래 코드를 사용합니다.

 

crrltn=cor.test(iris$Sepal.Length,iris$Petal.Length)
plot(iris$Sepal.Length,iris$Petal.Length,ann=FALSE)
title(xlab="Sepal Length",ylab="Patal Length")

text(6.0,3,paste0("r =",round(crrltn$estimate,3)),cex=1.3,col="red")